最短路模型

定义

最短路模型是图论中的一个经典问题，旨在寻找从图中一个顶点到另一个顶点的路径，使得这条路径上的边（或边的权重）之和最小。这一模型在许多实际问题中有着广泛的应用，比如网络路由、地图导航、物流配送等场景。

在图论中，最短路问题通常形式化为在一个加权图 G=(V,E)G=(V,E) 中寻找两个顶点 uu 和 vv 之间的最短路径，其中 VV 是顶点集，EE 是边集，每条边 e \in Ee∈E 都有一个非负权重 w(e)w(e)。目标是找到一条从 uu 到 vv 的路径，使得路径上所有边的权重之和最小。

运用情况

1. 网络路由：在互联网中，数据包需要通过最少的延迟或最低的成本从源节点传输到目的节点，这可以看作是一个最短路径问题。
2. 地图导航：为司机或行人提供从起点到终点的最快或距离最短的路线。
3. 物流与供应链管理：确定货物从仓库到客户或从供应商到工厂的最优运输路线，以减少运输成本和时间。
4. 电路设计：在集成电路设计中，选择信号传递的最短路径以减少延迟和功耗。
5. 社交网络分析：分析两个人之间关系链的最短路径，用于推荐系统或影响力传播分析。

注意事项

1. 负权重边：如果图中存在负权重边，则不能直接使用某些算法如Dijkstra算法，而应考虑Bellman-Ford算法或Floyd-Warshall算法，因为它们能处理负权。
2. 环路检测：在有负权重边的情况下，需要检查是否存在负权重环，因为这样的环路会导致无限减小路径长度，从而使问题无解。
3. 稠密图与稀疏图：根据图的密度选择合适的算法。例如，Floyd-Warshall算法适用于稠密图，而Dijkstra或A*算法更适合稀疏图。
4. 多源或多目标：当需要计算多个源点到单个目标或多个目标的最短路径时，可能需要对算法进行适当调整或多次调用。

解题思路

1. 理解问题：首先明确问题是否为单源最短路径还是多源最短路径，图中是否存在负权重边。
2. 选择算法：根据问题的具体情况选择合适的算法。常见的算法有Dijkstra算法（适用于无负权的单源最短路径）、Bellman-Ford算法（可处理负权重但无负权重环）、Floyd-Warshall算法（解决所有顶点对之间的最短路径，适合稠密图）。
3. 实现与优化：实现所选算法，并考虑如何优化，比如使用优先队列优化Dijkstra算法，或在特定情况下利用预处理技巧减少计算量。
4. 验证结果：检查计算出的路径是否确实是最短的，并确保没有违反任何先决条件，如负权重环的存在。

AcWing 188. 武士风度的牛

题目描述

AcWing 188. 武士风度的牛 - AcWing

运行代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 155, M = N * N;

int n, m;
char g[N][N];
PII q[M];
int dist[N][N];

int bfs()
{
    int dx[] = {-2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2};
    int dy[] = {1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};
    int sx, sy;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
            if (g[i][j] == 'K')
                sx = i, sy = j;

    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = {sx, sy};

    memset(dist, -1, sizeof dist);
    dist[sx][sy] = 0;

    while (hh <= tt)
    {
        PII t = q[hh ++ ];

        for (int i = 0; i < 8; i ++ )
        {
            int a = t.x + dx[i], b = t.y + dy[i];
            if (a < 0 || a >= n || b < 0 || b >= m) continue;
            if (g[a][b] == '*') continue;
            if (dist[a][b] != -1) continue;
            if (g[a][b] == 'H') return dist[t.x][t.y] + 1;

            dist[a][b] = dist[t.x][t.y] + 1;
            q[ ++ tt] = {a, b};
        }
    }

    return -1;
}

int main()
{
    cin >> m >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> g[i];

    cout << bfs() << endl;

    return 0;
}

代码思路

1. 包含文件和宏定义:

   • 包含了 <cstring>，<iostream> 和 <algorithm> 头文件，分别用于字符串处理、输入输出和算法操作。
   • 定义了一个宏 N 作为最大地图大小，并定义了类型别名 PII 为 pair<int, int>，用于存储坐标。
   • 使用 #define x first 和 #define y second 来简化 pair 对象的访问。

2. 变量声明和初始化:

   • 声明了 n 和 m 分别代表地图的行数和列数，二维字符数组 g 存储地图信息，q 作为队列存储待访问的坐标，dist 数组记录每个位置到起点的最短距离。
   • 通过 memset 函数将 dist 数组初始化为 -1，表示未访问过。

3. 核心函数 bfs():

   • 首先，通过双层循环遍历地图，找到起始位置 'K' 的坐标 (sx, sy)。
   • 初始化队列 q，并将起始位置入队。
   • 进行广度优先搜索，定义了变量 hh 和 tt 作为队列的头尾指针，并用数组 dx 和 dy 来表示马可能的八个移动方向。
   • 在 BFS 循环中，每次从队列头部取出一个坐标，遍历其八个可能的下一个位置，检查这些位置是否越界、是否有障碍物（'*'）或是否已经访问过。若新位置有效且未访问，则更新该位置的最短距离，并将其加入队列。
   • 如果在搜索过程中遇到草（'H'），立即返回当前的最短距离加一（因为起始点的初始距离为0）。
   • 若循环结束仍未找到草，则返回 -1 表示无解（根据题目描述，这种情况实际上不会发生）。

4. 主函数 main():读取地图的列数 m 和行数 n，然后逐行读取地图信息。调用 bfs() 函数计算并输出最短跳跃次数。

改进思路

1. 代码注释:添加详细的注释，特别是对于关键变量、数组含义、函数功能等进行说明，提高代码的可读性和维护性。

2. 命名规范:变量命名可以更加直观，例如将 sx, sy 改为 startX, startY，将 hh, tt 改为 head, tail，以增加代码的自解释性。

3. 宏定义优化:考虑到使用 #define x first 和 #define y second 可能导致的命名冲突和阅读困难，可以考虑直接在代码中使用 first 和 second，或者在BFS函数内部临时定义辅助函数来访问pair的元素。

4. 避免全局变量:尽量减少全局变量的使用，可以将 n, m, g, q, dist 等变量作为 bfs 函数的参数传入，以减少不同部分间的耦合度。

5. 边界检查和错误处理:虽然题目保证有解，但在实际应用中，增加对输入数据的校验（如检查地图尺寸是否合理，起点和终点是否存在等）可以提高程序的健壮性。

6. 内存使用优化:当地图规模非常大时，可以考虑使用压缩存储或动态分配内存来减少空间消耗，例如只对访问过的节点分配dist数组的空间。

7. 代码结构清晰化:将BFS逻辑拆分成几个小函数，如初始化队列、拓展节点等，可以让代码逻辑更清晰，便于阅读和维护。

8. 使用标准库函数或STL容器:考虑使用std::queue代替原始数组实现队列，这样可以利用STL容器的便利性，减少手动管理数组指针的复杂度。